设A∈Rn×n有n个正的实特征值λ1≥λ2≥…≥λn，试证当时，迭代公式x（k+1)=x（k)+α（b-Ax（k))收敛．

设实对称矩阵A_n×n的特征值如式(1.18)，则

λ₁=min{x^TAx|x∈Rⁿ，‖x‖₂=1}， (1.19)

λ_n=max{x^TAx|x∈Rⁿ，‖x‖₂=1}． (1.20)

设A是n阶实对称矩阵，x是Rⁿ中任意非零(列)向量，称

为关于矩阵A的瑞利(Rayleigh)商.试证瑞利原理：设实对称矩阵A的全部特征值按大小顺序排列成λ₁≤λ₂≤…≤λ_n,ξ₁为对应于λ₁的特征向量，ξ_n为对应于λ_n的特征向量，则

λ₁≤R(x)≤λ_n(5-10)

且

设A是n阶实对称矩阵，x是Rⁿ中任意非零(列)向量，称

为关于矩阵A的瑞利(Rayleigh)商.试证瑞利原理：设实对称矩阵A的全部特征值按大小顺序排列成λ₁≤λ₂≤…≤λ_n,ξ₁为对应于λ₁的特征向量，ξ_n为对应于λ_n的特征向量，则

λ₁≤R(x)≤λ_n(5-10)

且(5-11)

设A是n阶实对称正定矩阵，f(t)是m次实系数多项式，则对任意x∈Rⁿ，有

其中λ₁，λ₂，…，λ_n是A的特征值，是Rⁿ中的向量范数．

设A是n阶实对称正定矩阵，f(t)是m次实系数多项式，则对任意x∈Rⁿ，有

其中λ₁，λ₂，…，λ_n是A的特征值，是Rⁿ中的向量范数．

试证：在原仿射尺度算法的迭代公式x^(k+1)=x^(k)+α_kd^(k)中的步长系数若取为，则当迭代点x^(k+1)的某分量x_j^(k+1)=0时，x^(k+1)必为L的最优解．

3．试证：在原仿射尺度算法的迭代公式x^(k+1)=x^(k)+α_kd^(k)中的步长系数若取为，则当迭代点x^(k+1)的某分量x_j^(k+1)=0时，x^(k+1)必为L的最优解．

利用离散傅里叶变换的若干对称特性，证明实序列的离散傅里叶变换有下列对称特性：

(1)Re[X(k)]=Re[X((-k))_N]R_N(k)

(2)Im[X(k)]=-Im[X((-k))N]R_N(k)

(3)|X(k)|=|X((-k))_N|R_N(k)

(4)arg[X(k)]=-arg[X((-k))_N]R_N(k)

设用迭代公式

X^(k+1)=X^(k)+α(b-AX^(k)) (k=0，1，2，…)

求解AX=b，问实数α取什么值时可使迭代收敛？α取什么值时可使迭代收敛最快？