称群G中元素a^-1b^-1ab为G中元素a与b的位元，记为ab.证明:1)由G中所有换位元生成的子群K是G的一个正规子群2)GK是交换群3)若NlG,且G N可换,则NK

设(G，*)是一个独异点，并且对于G中的每一个元素x都有x*x=e，其中e是单位元．证明：(G，*)是一个阿贝尔群．

证明：若群G的自同构群是一个单位元群(即G只有恒等自同构)，则G必为交换群且每个元素都满足方程x2=e．

设H，K是群G的两个正规子群，且二者的交为{e}．证明：H与K中的元素相乘时可换．

设a是群的任意一个元素,G(a)为所有与a可交换的元素组成的集合,证明的子群.

假定~是一个群G的元间的一个等价关系，并且对于G的任意三个元a，x，x'来说

证明，与G的单位元e等价的元所作成的集合是G的一一个子群.

设u是群(G，)中给定的一个元素，其逆元素为u^-1，对G定义一个新的运算“*”：对任意a，b∈G，．试证明(G，*)也是一个群。

设u是群(G，+)中取定的一个元素，其逆元素为u^-1，对G定义运算*为：对任意a，b∈G，a*b=a*u^-1*b，试证明(G，*)也是一个群．