设A是m×n实矩阵，若r（ATA）=5，则r（A）=_________.

设A为nXm实矩阵，且r（A)^-m（1)ATA为m阶正定矩阵; （2)AAT为n阶半正定矩阵。

设A是s×n实矩阵。证明：（1)r（A^TA)=r（A)。（2)对任意s维列向量b，线性方程组A^TAx=A^Tb总有解。

已知A为m×n实矩阵，求证:A^TA为正定矩阵 秩（A)=n.

已知A为m×n实矩阵，求证:

A^TA为正定矩阵秩(A)=n.

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r（B)=n。

设A为m×n实矩阵，已知证明：当λ＞0， 矩阵B为正定矩阵。

设是一个实矩阵且ad-bc=1。证明：

(i)如果|trA|＞2，那么存在可逆实矩阵T，使得这里λ∈R且λ≠0，1，-1;

(ii)如果|trA|=2且A≠±1，那么存在可逆实矩阵T，使得

(iii)如果|trA|＜2，则存在可逆实矩阵T及θ∈R，使得

设A为m×n实矩阵.证明：对于任何m维实的非零列向量b，非齐次线性方程组A^TAx=A^Tb必有解.

设A为n阶正定矩阵，P为n×m实矩阵，求证:P^TAP为正定矩阵 秩（P)=m.

设A为m×n实矩阵，E为，n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+A^TA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵。