设a₁,a₂,a₃为正数1＞2＞3.证明:方程在区间(1,2)与(2,3)内各有一根.

设a₁,a₂,a₃为正数,,证明:方程:

在区间内各有一个根.

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1,证明：对于任意给定的正数a，b，在开区间(0，1)内存在不同的点ξ和η，使得

设函数f(x)在区间(-∞,+∞)内可微分且|f(x)|≤a＜1.任取一点x₀∈(-∞,+∞),并令

证明必有极限

称ξ为方程x=f(x)的不动点.

证明反常积分中柯西判别法的极限形式:

(1)设函数f(x)在区间(a,b]上连续(a是奇点).

若有某个正数μ＜1,使则收敛.

若有某个正数μ≥1,使(包括l=+∞),则发散.

设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)＞0,有

证明:方程F(x)=0在区间[a,b]上有且仅有一个根.

设a₁,a₂,…,a_n为n个正数,且证明:

设函数f(x)在区间(a,b)内的各阶导数一致有界,即存在正数M,对一切x∈(a,b),有∣f⁽ⁿ⁾(x)∣≤M(n=1,2,3,...),证明:

对(a,b)内任一点x与x₀有

(0)(x)=f(x),0!=1)

证明方程x⁵+x+1=0在区间(-1，0)内有且只有一个实根。

证明:(1)方程(这里e为常数)在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根;

(2)方程(n为正整数,p、q为实数)当n为偶数时至多有两个实根;当n为奇数时至多有三个实根.

证明:(1)方程(这里c为常数)在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根;

(2)方程(n为自然数,p,q为实数)当n为偶数时至多有两个实根;当n为奇数时至多有三个实根.

证明：（1）方程x3-3x+c=0(这里c为常数)在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根。 (2)方程xn+px+q=0(n为正整数，p，q为实数)当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。