设ε₁，ε₂，...，ε_n是线性空间V的一组基，是V上的线性变换，证明：可逆当且仅当线性无关。

设(γ₁，γ₂，...，γ_n)是n维向量空间V的一个基。

并且α₁，α₂，···，α_n线性无关。又设σ是V的一个线性变换，使得σ(α_j)=β_j，j=1，2，...，n。求σ关于基γ₁，γ₂，...，γ_n的矩阵。

设σ为n维线性空间V的线性变换，下面三个条件等价：

(1)σ是单射；(2)σ是满射；(3)σ是双射.

若σ是无限维线性空间V的线性变换，则σ是单射与σ是满射等价？

设V是复线性空间，而线性变换T在基底ε1，ε2，…，εn下的矩阵是一Jordan块，证明： (1)V中包含εn的不变子空间只有V本身； (2)V中任一不变子空间都包含ε1； (3)V不能分解成两个非平凡的不变子空间的直和．

设α₁，α₂，...，α_n是n维线性空间V的一组基，A是一nxs矩阵。

证明：的维数等于A的秩。

设是P上n维线性空间V的一个线性变换。

1)证明：对V上的线性函数f，f仍是V上线性函数;

2)定义V*到自身的映射为。证明：是V*上的线性变换;

3)设ε₁，ε₂，...，ε_n是V的一组基，f₁，f₂，...，f_n是它的对偶基，并设在ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵为A，证明：在f₁，f₂，...，f_n下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)

设α1,α2,…αn是n维线性空间V的一组基,β1,β2…βs是V的一组向量,且有n*s矩阵满足

（β1，β2…βs）=（α1，α2，…αn）A

证明：矩阵A的秩等于向量组β1,β2…βs的秩

设V为数域P上的n维线性空间，且V=L(α₁，α₂，...α_n)，

(1)证明{α₁，α₁+α₂，...，α₁+α₂+...+α_n}是V的一组基:

(2)若a∈V在基{α₁，α₂，...α_n}下的坐标为(n，n-1，...，2，1),求α在基{α₁，α₁+α₂，...，α₁+α₂+...+α_n}下的坐标

设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换在基ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵是一若尔当块。证明：

1)V中包含ε₁的-子空间只有V自身;

2)V中任一非零-子空间都包含ε_n;

3)V不能分解成两个非平凡的-子空间的直和。

设V是复数域上的n维线性空间，是V的线性变换，且证明：

1)如果λ₀是的一特征值，那么的不变子空间;

2)至少有一个公共的特征向量。

设α₁，α₂，···，α_m是n维欧氏空间V中一组向量，而

证明：当且仅当|△|≠0时，α₁，α₂，···，α_m线性无关。