题目
第2题
1)设α,β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明:存在一镜面反射使
2)证明:n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。
第4题
设{α1,α2,…,αn}和{β1,β2,…,βn}是n维欧氏空间V的两个标准正交基,证明:如果V的一个正交变换τ使得τ(α1)=β1,那么τ(α2),τ(α3),…,τ(αn)所生成的子空间与β2,β3,…,βn所生成的子空间重合.
第5题
设α1,α2,···,αm是n维欧氏空间V中一组向量,而
证明:当且仅当|△|≠0时,α1,α2,···,αm线性无关。
第6题
设{α1,α2,···,αn}和{β1,β2,···,βn}是n维欧氏空间V的两个规范正交基。
(i)证明:存在V的一个正交变换σ,使σ(αi)=βi,i=1,2,...,n;
(ii)如果V的一个正交变换τ使得τ(α1)=β1,那么τ(α2),···,τ(αn)所生成的子空间与由β2,···,βn所生成的子空间重合。
第7题
设α是欧氏空间V中的一个非零向量,α1,α2,···,αp是V中p个向量,满足
证明:
1)α1,α2,···,αp线性无关;
2)n维欧氏空间中最多有n+1个向量,使其两两夹角都大于π/2。
第8题
第9题
令γ1,γ2,···,γn是n维欧氏空间V的一个规范正交基,又令
K叫作一个n一方体.如果每一xi都等于0或1,ξ就叫作K的一个顶点。K的顶点间一切可能的距离是多少?
第10题
证明:n维欧氏空间中任一正交变换都可以表示成一系列镜面反射的乘积.
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