设{αn}是有界数列，在l中定义算子T:x→y，其中 x={ξn}， y={αnξn} 证明T是紧算子的充分必要条件是{αn}→0

设Ω是平面上有界L可测,L²（Ω)表示Ω上关于L测度平方可积函数全体,对每个f∈L²（Ω)，定义（Tf)（z)=zf（z),z∈Ω证明T是正常算子.

设F是平面上无限有界闭集,{a_n}是F的一稠密子集,在I²中定义算子T:则a_n都是特征值,σ（T)=F,F/{a_n}中每个点是T的连续谱.

设F是平面上无限有界闭集,{a_n}是F的一稠密子集,在I²中定义算子T:

则a_n都是特征值,σ(T)=F,F/{a_n}中每个点是T的连续谱.

设T是定义在巴拿赫空间E上的有界线性算子，

α∈ρ(T)， A=R(α，T)

设μ，λ满足μ(α-β)=1，则μ∈σ(A)的充分必要条件是λ∈σ(T)。若μ∈ρ(A)，且μ(α-β)=1，则

设α(·)是定义在[a，b]上的函数。令

(Tx)(t)=α(t)x(t) (x∈C[a，b])，

则T是由C[a，b]到其自身的有界线性算子的充分必要条件是α(·)在[a，b]上连续。

设E是巴拿赫空间，T_λ是定义在复平面的某一非空开集G上而在中取值的抽象函数，适合T_λ-T_μ=(μ-λ)T_λT_μ又设对G中的某个λ，T_λ^-1存在且有界。则T_λ^-1对一切λ∈G都存在且有界，而且存在E上的有界线性算子T，使T_λ^-1是T的预解式，满足。

设x∈C[a,b].T是C[a,b]上定义的有界线性算子,若f∈C[a,b],则（Tf)（t)=x（t)f（t).求证:T的谱σ（T)={x（t)It∈[a,b]}.

设K(t，s)是a≤t≤b，a≤s≤b上的可测函数，∫_a^b|K(t,s)|dt对[a，b]上几乎所有的S存在，且作为S的函数是本性有界的。令

y=Tx:y(t)=∫_a^bK(t，s)x(s)dt

则T是L[a，b]到其自身的有界线性算子，且

设X是自反的Banach空间．证明有界线性算子T：X→l¹是紧算子，