题目
设E是巴拿赫空间,Tλ是定义在复平面的某一非空开集G上而在中取值的抽象函数,适合Tλ-Tμ=(μ-λ)TλTμ又设对G中的某个λ,Tλ-1存在且有界。则Tλ-1对一切λ∈G都存在且有界,而且存在E上的有界线性算子T,使Tλ-1是T的预解式,满足。
第1题
设T是定义在巴拿赫空间E上的有界线性算子,
α∈ρ(T), A=R(α,T)
设μ,λ满足μ(α-β)=1,则μ∈σ(A)的充分必要条件是λ∈σ(T)。若μ∈ρ(A),且μ(α-β)=1,则
第2题
设A[a,b]为定义在[a,b]上的绝对连续函数全体,其线性运算与C[a,b]的相同,在A[a,b]中定义范数于下:
‖x‖=|x(a)|+∫ab|x'(t)|dt (x∈A[a,b])
证明:A[a,b]按照‖·‖是可分巴拿赫空间。
第3题
设巴拿赫空间E'具有基{xn}(n=1,2,3,…)。证明:
(1){xn}是线性无关的;
(2)令W为使∑n=1∞cnxn在E中收敛的序列w={xn}的全体,在W中定义范数
则W为巴拿赫空间;
(3)令fn(x)=cn(n=1,2,3,…),这里x=n=1∞cnxn则fn是E上的有界线性泛函。
第4题
设M0是[a,b]上有界函数全体,线性运算的定义与C[a,b]的相同。在M0中定义范数于下:
||x||=|x(a)|+Vab(x)
证明:M0是不可分的巴拿赫空间。
第5题
设V[a,b]为定义在[a,b]上的有界变差函数的全体,其线性运算与C[a,b]的相同。在V[a,b]中定义范数如下:
证明:V[a,b]按照‖·‖是不可分的巴拿赫空间。
第6题
设l∞为一切有穷数列组成的集,线性运算与lp的相同,在l∞中定义范数如下:
其中x={ξ1,ξ2,…,ξn,…}∈l∞证明:l∞按照‖·‖是不可分的巴拿赫空间。
第7题
设c为一切收敛数列组成的集,线性运算与lp中相同,在c中定义范数于下:
其中x={ξ1,ξ2,…,ξn,…}∈c。证明:c按照‖·‖是可分的巴拿赫空间。
第8题
设E是巴拿赫空间,T1,可换,则它们的谱半径rT1,rT2满足
rT1+rT2≤rT1+rT2
第9题
设Hp(0<p≤1)表示[a,b]上满足p次利普希茨条件
|x(t1)-x(t2)|≤M|t1-t2|p(t1,t2∈[a,b])的函数全体,线性运算的定义与C[a,b]的相同。在Hp中定义范数于下:
证明:Hp按照‖·‖是巴拿赫空间。HP是否可分?
第10题
设E是巴拿赫空间,点列{xn}∈E满足
∑n=1∞‖xn‖=M<∞,
其中M>0是常数。证明:存在x∈E,使得x=∑n=1∞xn且‖x‖<M。
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