一质量为m的宇宙飞船绕行星作圆周运动，圆的半径为R0，速率为v0，因火箭爆发，给飞船增加了向外的径向速度分量v

行星绕太阳的运行速度可分解为径向分速度和角向(垂直于径向)分速度。因此，质量为m的行星的机械能可写成式中,Ms为太阳的质量,r为太阳到行星的径矢。

(1)证明：以L表示行星对太阳的恒定角动量,则有:

(2)对于圆轨道,r=rn;对于一近似圆轨道,r=rn+x，x<

(3)和简谐运动的能量公式，即原书式(6.25)对比，可知上式除最后一项的附加常量外，它表示行星沿径向作简谐运动。证明:和此简谐运动相应的“等效劲度系数”为

(4)证明:上述径向简谐运动的周期等于该行星公转的周期。画出此行星的近似圆运动的轨道图形。

(1)试问，对于角动量为L的圆形行星轨道，其半径r₀应满足什么方程(列出方程即可，不必求解)？

(2)考虑对上述圆轨道稍有偏离的另一轨道，试解释它是一条作进动的椭圆轨道，进动方向与行星运行方向相反，并求出进动角速度(用r₀表述)。

如图12-5a所示水平圆板可绕轴二转动。在圆板上有1质点M作圆周运动，已知其速度的大小为常量，等于v₀，质点M的质量为m，圆的半径为r，圆心到s轴的距离为I，点M在圆板的位置由角φ确定，如图12-5a所示。如圆板的转动惯量为J，并且当点M离轴最远在点M₀时，圆板的角速度为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计，求圆板的角速度与角φ的关系。

在一半径为R₀的无空气的小行星表面上，以v₀的速度水平抛一物体，使该物体正好在行星表面绕它作圆周运动。

如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求：

(1)质点所受合外力的冲量;

(2)质点所受张力T的冲量。

光滑圆盘面上有一质量为m的物体A，拴在一根穿过圆盘中心O处光滑小孔的细绳上，如图所示．开始时，该物体距圆盘中心O的距离为r0，并以角速度w0绕盘心O作圆周运动．现向下拉绳，当质点A的径向距离由r0减少到r0/2时，向下拉的速度为v，则下拉过程中拉力所做的功为（） 。