巴拿赫空间E称为序列弱完备的，是指对每个f∈E*，若存在，则存在x∈E使{xn)弱收敛于x。证明： （1)自反空间都是序

设{x_n}是巴拿赫空间E中的一个点列，如果对于每个f∈E^*，

∑_n=1^∞|f(x_n)|＜+∞

则必存在正数μ使对一切f∈E^*，

∑_n=1^∞)|f(x_n)|≤μ‖f‖

设巴拿赫空间E'具有基{x_n}(n=1，2，3，…)。证明：

(1){x_n}是线性无关的；

(2)令W为使∑_n=1^∞c_nx_n在E中收敛的序列w={x_n}的全体，在W中定义范数

则W为巴拿赫空间；

(3)令f_n(x)=c_n(n=1，2，3，…)，这里x=_n=1^∞c_nx_n则f_n是E上的有界线性泛函。

试证：巴拿赫空间E中的点集M是准紧的一个充分条件是：

(1)M是有界的；

(2)存在按照算子拓扑收敛于单位算子的紧算子序列{T_n}，使得在M上一致地有

‖T_nx-x‖→0 (x∈M)

设E是巴拿赫空间，T₁，可换，则它们的谱半径rT₁，rT₂满足

rT₁+rT₂≤rT₁+rT₂

设E是巴拿赫空间，T_λ是定义在复平面的某一非空开集G上而在中取值的抽象函数，适合T_λ-T_μ=(μ-λ)T_λT_μ又设对G中的某个λ，T_λ^-1存在且有界。则T_λ^-1对一切λ∈G都存在且有界，而且存在E上的有界线性算子T，使T_λ^-1是T的预解式，满足。

设T是定义在巴拿赫空间E上的有界线性算子，

α∈ρ(T)， A=R(α，T)

设μ，λ满足μ(α-β)=1，则μ∈σ(A)的充分必要条件是λ∈σ(T)。若μ∈ρ(A)，且μ(α-β)=1，则

设E是巴拿赫空间，点列{x_n}∈E满足

∑_n=1^∞‖x_n‖=M＜∞，

其中M＞0是常数。证明：存在x∈E，使得x=∑_n=1^∞x_n且‖x‖＜M。

设E为巴拿赫空间，T₁，T₂均属于(E)，且可换。设

λ∈ρ(T₁)∩ρ(T₂)

则

R(λ，T₁)-R(λ，T₂)=(T₁-T₂)R(λ，T₁)R(λ，T₂)(第二预解式方程)

设M₀是[a，b]上有界函数全体，线性运算的定义与C[a，b]的相同。在M₀中定义范数于下：

||x||=|x(a)|+Vab(x)

证明：M₀是不可分的巴拿赫空间。