在实数集R上定义一个二元关系:证明:(1)~是R上的一个等价关系(2)任一等价类ā可以找到一个惟一的

设f₁，f₂，f₃，f₄为实数集R到R的函数，且

在R上定义二元关系E_i，则E_i是R上的等价关系，称为f_i导出的等价关系，求商集R/E_i，i=1，2，3，4。

设A=Z⁺×Z⁺，在A上定义二元关系R如下：〈〈x，y)，〈u，v〉〉∈R当且仅当xv=yu，证明R是一个等价关系．

设R为N×N上的二元关系，

(1)证明：R为等价关系。

(2)求商集N×N/R。

设A=Z⁺×Z⁺,在A上定义二元关系R如下:当且仅当xv=yu,证明R是一个等价关系.

在平面S(点集)上定义一个二元关系：

证明：～是S上的一个等价关系．

设A={1，2，3，4}，在A×A上定义二元关系R，

(1)证明：R是A×A上的等价关系。

(2)确定由R引起的对A×A的划分。

设R是实数集，R上的二元运算*定义为：a*b=a+b+ab。

设R是实数域，在R上定义距离

ρ₂(x，y)=|e^x-e^y|，

则R按ρ₂是一个距离空间但不完备。

设A是非空有限集合,是A上的对称群,是A的一个置换群,构造一个A上的二元关系R满足

证明R是等价关系.

设C^*是实数部分非零的全体复数组成的集合，C^*上关系R定义为〈(a+bi)R(c+di)〉ac＞0，证明：R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明．

设G=R×R，R为实数集，G上的一个二元运算+定义为

〈x₁，y₁〉+〈x₂，y₂〉=〈x₁+x₂，y₁+y₂〉．

又设H={(x，y)|y=2x}，证明：(G，+)为阿贝尔群，(H，+)为子群，并求(x₀，y₀)H，(x₀，y₀)∈G．