试证明： 设是区间，f∈L（I)，a≠0．若令 J={x/a：x∈I}=I/a，g（x)=f（ax) （x∈J)，则g∈L（J)，且有．

设I是中的区间，函数f：I→满足Lipschitz条件，即

L＞0，z，y∈I，|f(x)-f(y)|≤L|x-y|证明关于Lebesgue测度，f将零测集映为零测集．

设I为一无穷区间，函数f（x)在I上连续，I内可导，试证明：如果在I的任一有限的子区间上，f'（x)≥0（或f'（x)≤0)，且等号仅在有限多个点处成立，那么f（x)在区间I上单调增加（或单调减少).

设函数f在区间上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在常数L＞0,使得对I上任意两点x',x"都有,证明f在I上一致连续.

试证明：

设A，B是R¹中的可测集，且m(A)＞0，m(B)＞0，则A+B中包含一个区间I：m(I)＞0．

设函数f（x)在区间[a，b]上连续、单调增加，试证明在区间（a，b]上恒有F'（x)≥0。

设函数f(x)在区间[a，b]上连续、单调增加，

试证明在区间(a，b]上恒有F'(x)≥0。

设f（x)在区间（-l,l)内有定义,试证明:（1)f（-x)+f（x)为偶函数;（2)f（-x)-f（x)为奇函数.

设f"(x)在某区间I上连续，且f"(x₀)≠0 (x₀∈I)，对于x₀+h∈I，由微分中值定理

f(x₀+h)=f(x₀)+hf'(x₀+θh)(0＜θ＜1)

证明：

若函数f(x)具有二阶导数,又设f(a)=f(c)=f(b),其中a＜c＜b,试证:在区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f"(ξ)=0

设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数.①试证存在x₀∈(0,1)使得在区间[0,x₀]上以f_x(0)为高的矩形面积等于在区间[x₀,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积；②又设f(x)在区间(0,1)内可导，且

f'(x)〉-2f(x)/x，证明①中的x₀是唯一的。

设f(x)是区间[a,b]上的有界函数.证明f(x)在[a,b]上可积的充分必要条件是对任意给定的ε＞0与σ＞0,存在划分P,使得振幅ω_i≥ε的那些小区间[x_i-1,x_i]的长度之和(即振幅不能任意小的那些小区间的长度之和可以任意小).