设f（x，y)有4阶连续导数，试证明计算二重积分的辛普森公式 的截断误差为 其中ξ，∈（a，b)，η，∈（c，d)．

证明下列各题:

(1)设F(u,v)有连续的偏导数,方程F(cx-az,cy-bz)=0确定函数z=f(x,y).试证:

(2)方程确定z是x,y的函数,f有连续的偏导数,且.求证:(设用复合函数求导法计算)

设函数f(x,y)具有连续的n阶偏导数:试证函数g(t)=f(a+ht,b+kt)的n阶导数

设函数f(x,y)在P(a,b)的邻域U(P,r)存在任意阶连续偏导数.证明:若有

设f(x)=x^mln(1+x)(m为自然数)，试证明f(x)在x=0处的n阶导数为

(n≥m+1)．

设函数f(x)在点a近旁有连续的(n+2)阶导数,且而泰勒公式中的拉格朗日余项为

其中θ=0(a,n,x).证明:

用计算曲面面积的二重积分公式证明:

并由此计算正弦弧段y=sinx,0≤x≤π绕x轴旋转所得旋转曲面的面积

设函数f(x)在(-∞，+∞)内有界且导数连续，又对于任意实数x有|f(x)+f'(x)|≤1,试证明：总有

|f(x)|≤1

设f(x)在[a,b]上有(n-1)阶连续导数，在(a,b)内有n阶导数，且试证：在(a,b)内至少存在一点ζ，使

(即F(x，y)在(x₀，y₀)处的一阶偏导数全为零)。令H称为F(x，y)在(x₀，y₀)处的海塞(Hessian)矩阵。证明：

(1)如果H是正定的，则F(x，y)在(x₀，y₀)处达到极小值;

(2)如果H是负定的，则F(x，y)在(x₀，y₀)处达到极大值;

(3)如果H是不定的，则F(x，y)在(x₀，y₀)处既不是极大，也不是极小。