题目
如果β可以被向量α1,α2,…,αr,线性表出,证明表示法唯一的充分必要条件是α1,α1,…,αr线性无关.
第3题
已知向量组
(Ⅰ)α1,α2,α3 (Ⅱ)α1,α2,α3,α4(Ⅲ)α1,α2,α3,α5如果向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3,r(Ⅲ)=4,证明:向量组α1,α2,α3,α4-α5的秩为4.
第4题
量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=2,r(Ⅲ)=3,证明:向量组α1,α2,α3-α4的秩为3。
第6题
设α1,α2,…,αr线性相关,证明:存在不全为零的数t1,t2,…,tr,使对任何向量β都有α1+t1β,α2+t2β,…,αr+trβ(r≥2)线性相关.
第7题
已知向量组(I):α1,α2,α3;(II):α1,α2,α3,α4;(Ⅲ):α1,α2,α3,α5.如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3,r(Ⅲ)=4.证明向量组α1,α2,α3,α5-α4的秩为4.
第8题
下列论断哪些是对的,哪些是错的,如果是对的,证明;如果是错的,举出反例:
(i)如果当,那么α1,α2,...,αr线性无关;
(ii)如果α1,α2,...,αr线性无关,而αr+1不能由α1,α2,...,αr线性表示,那么,α1,α2,...,αr,αr+1线性无关;
(iii)如果α1,α2,...,αr线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合;
(iv)如果α1,α2,...,αr线性相关,那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合。
第10题
设向量β可由向量组α1,α2,…,αr线性表出.试证:如果α1,α2,…,αr线性无关,则表示式是唯一的.
分析 这是一个证明“唯一性”的命题,证明这类命题,往往采用以下两种方法:一是反证法,假设满足题设的结果不唯一,从而推出矛盾;二是同一法,设满足题设的结果有两个,然后证明这两个相同.
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