题目
试证明:
设集合.若对任意的x∈E,存在开球B(x,δx),使得m(E∩B(x,δx))=0,则m(E)=0.
第1题
试证明:
设.若对任意的x∈E,存在开球B(x,δx),使得m*(E∩B(x,δx))=0,则m*(E)=0.
第2题
试证明:
设是一个非空点集,若对任意的,存在y∈E,使得d(x,y)=d(x,E),则E是闭集.
第5题
设f(x)是定义在(-∞,a)上的连续函数,对任意的t∈R1,令TEt={x∈E:f(x)>t},试证明存在Rn中包含E的开集TGt,使得Et=E∩Gt.
第6题
设f(x)是E上几乎处处有限的可测函数,m(E)<+∞,试证明对任意的ε>0,存在E上的有界可测函数g(x),使得
m({x∈E:|f(x)-g(x)|>0})<ε.
第7题
设X是任一集合,若对任意的x,y∈Z.都存在一个实数与它们相对应,记作p(x,y),并且满足下列条件(称为距离公理):
(1)非负性p(x,y)≥0,且p(x,y)=0x=y,
(2)对称性ρ(x,y)=p(y,x),
(3)三角不等式p(x,y)≤p(x,z)十p(z,y),
则称p(x,y)为x与y之间的距离,并称定义了距离的集合为距离空间或度量空间.证明:n维Euclid空间Rn,连续函数空间C([a,b])与p方可和数列空间Ip都是距离空间.
第8题
第9题
设R是集合A上的一个等价关系,|A1,A2,...,Ak|为A的子集族,且对任意x,y∈A满足
可否断定{A1,A2,...,Ak}为A的一个划分?若可以,请证明它确为A的划分;若不可以,请补适当条件,以使上述断言成立.
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