题目
试证明:
设f(x)在[a,b]上可测,则存在多项式列{Pn(x)},使得,a.e.x∈[a,b].
第1题
试证明:
设f(x)是(a,b)上的实值函数,是f(x)的可微点集,则f'(x)在D上可测.
第2题
试证明:
设f(x)是定义在区间[a,b]上的单调函数,则f(x)是[a,b]上的可测函数.
第3题
试证明:
设f(x)定义在可测集E上.若f2(x)在E上可测,且{x∈E:f(x)>0}是可测集,则f(x)在E上可测.
第4题
试证明:
设f(x),f1(x),…,fk(x),…是[a,b]上几乎处处有限的可测函数,且有,a.e.x∈[a,b],则存在(n=1,2,…),使得
,
而{fk(x)}在每个En上一致收敛于f(x).
第5题
试证明:
设f(x),g(x)是E上的可测函数,m(E)<+∞.若f(x)+g(y)在E×E上可积,则f∈L(E),g∈L(E)
第6题
设是可测集,定义在E×(0,1)上的f(x,y)满足:f(x,y)是E上(y固定)的可测函数,又是(0,1)上(x∈E固定)的连续函数,试证明:
,
均在E上可测.
第7题
试证明:
设z=f(u,v)是R2上的连续函数,g1(x),g2(x)是
[a,b] 上的实值可测函数,则F(x)=f(g1(x),g2(x))是[a,b]上的可测函数.第9题
试证明:
设f(x)是[0,1]上非负递增函数,则对[0,1]中的可测集E:m(E)=e,有
.
第10题
设f(x)是E上几乎处处有限的可测函数,m(E)<+∞,试证明对任意的ε>0,存在E上的有界可测函数g(x),使得
m({x∈E:|f(x)-g(x)|>0})<ε.
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